MTBF: questa strana forma di misurare l'affidabilità

I sistemi composti da più componenti sono generalmente riparabili e alla rottura di un componente segue un intervento di riparazione. Questo è il caso generale che è simile per molti prodotti: automobili, elettrodomestici, sistemi industriali ecc.
Tanto più spesso il prodotto si guasta tanto più spesso si deve intervenire nel periodo di vita del prodotto per la riparazione. La misura della performance di un prodotto tra due guasti è chiamata MTBF. Ovvero, Mean Time Between Failure. In affidabilità però, ma solo per semplificare i calcoli, si considera che ad ogni riparazione il sistema riparta rigenerato come nuovo. L’MTBF, quindi, non è altro che un tempo che indica la media tra guasti ed è quindi equiparabile all’MTTF, Mean Time To Failure, dei prodotti non riparabili.

Dal punto di vista analitico l’MTBF è strettamente legato al valore del tasso di guasto, sono due facce della stessa moneta. Il tasso di guasto esprime la frequenza media con cui un componente si guasta e si esprime con la lettera greca l. Il tasso di guasto dipende, altre che da motivi tecnici e dalla fisica dei componenti, dalla distribuzione di frequenza dei modi di guasto; la distribuzione di frequenza descrive la probabilità di guasto del prodotto ad un specifico tempo T di missione.
In funzione della distribuzione di frequenza dei modi di guasto, il tasso di guasto può essere costante o variabile. Il tasso di guasto è costante solo in un caso: in presenza di una distribuzione di frequenza esponenziale oppure di una distribuzione di frequenza di Weibull con parametri b = 1.
Per il fatto che il tasso di guasto è raramente costante, ad esso si preferisce “l’hazard rate”, che descrive il tasso di guasto istantaneo al tempo T+Dt, con Dt tendente a zero.
Attraverso l’hazard rate si ricava la famosa “bathtube curve”, curva a vasca, che descrive il tasso di guasto nel tempo. Generalmente la bathtube curve è divisa in 3 sezioni:
  • periodo di mortalità infantile, con tasso di guasto discendente;
  • periodo di maturazione del prodotto, con tasso di guasto costante;
  • periodo di mortalità per vecchiaia, con tasso di guasto crescente.
 Considerando che il tasso di guasto non è costante resta molto difficile, di conseguenza, ricavare l’MTBF attraverso la sua stima. Si avrebbe un valore di MTBF diverso in ogni punto di stima e ciò sarebbe di poca utilità pratica. 		Dal 1995 l’industria aeronautica (e in modo analogo altre agenzie governative americane, seguire il collegamento, pagina 13) ha esplicitamente dichiarato non accurata la stima dell’MTBF fatta considerando il tasso di guasto costante. Da studi fatti, solamente il 40% di casi potrebbero essere riconducibili a tale situazione. Questa situazione, essendo i calcoli connessi alla presenza di tasso di guasto costante semplici e accessibili, ha portato negli anni ad un abuso della distribuzione esponenziale e del metodo di calcolo connesso.
Le stesse considerazioni valgono per le stime effettuate nel campo della componentistica elettronica attraverso gli strumenti MMIL-HDBK-217F e Bellcore. Tali strumenti, benché validi, non devono portare, con un loro uso improprio, alla definizione non precisa dell’MTBF.
Il calcolo dell’MTBF considerando il tasso di guato costante è una scorciatoia non sempre percorribile. Il valore dell’MTBF di un sistema dipende, in definitiva, dalla distribuzione di frequenza dei guasti, dai loro parametri e dal corretto calcolo. Per calcolare il valore dell’MTBF si deve ricorrere alla generica espressione:
L’espressione precedente, altro non è, se non l’integrale da zero a infinito della funzione dell’affidabilità del sistema, di cui si vuole calcolare l'MTBF, che può essere calcolata solo se si conoscono i parametri delle funzioni coinvolte. Tali parametri possono essere ricavati attraverso prove di vita o, in tempi molto più brevi, prove di vita accelerata.

Effettuando il calcolo con uno oppure l’altro dei sistemi, si ottengono dei valori che possono essere anche notevolmente discordanti. Facendo riferimento alla tabella seguente, abbiamo un sistema, un compressore, composta da 10 diversi componenti con distribuzione di frequenza di Weibull. Prove di vita accelerate hanno dato per ogni componente i valori di b e di h indicati nelle rispettive colonne (ad esempio, figura sotto, il componente A ha un valore di b = 2 e un valore di h = 5000/h).
In queste condizioni, con opportuni calcoli analitici e/o mediante la simulazione Monte Carlo, si otterrebbero i seguenti valori:
  • MTBF con il calcolo analitico = 2389,39/h
  • MTBF con la simulazione Monte Carlo = 2581,5/h
  • MTTR con la simulazione Monte Carlo = 7,07/h
  • MTTF con la simulazione Monte Carlo = 2404,12/h
  • MTBF con il calcolo a tasso di guasto costante = 719,24/h
Si noti che il valore più reale dell’MTBF, 2389,39/h è molto maggiore del valore calcolato ipotizzando un tasso di guasto costante 719,24/h. La simulazione Monte Carlo, con 5000 iterazioni, fornisce valori molto prossimi al valore analitico. 		Se il sistema fosse stato veramente a tasso di guasto costante, ad esempio con b = 1 su tutti i componenti della tabella, si avrebbe la seguente situazione:
  • MTBF con il calcolo analitico = 819,17/h
  • MTBF con la simulazione Monte Carlo = 817,46/h
  • MTTR con la simulazione Monte Carlo = 11,94/h
  • MTTFF con la simulazione Monte Carlo = 825,47/h
  • MTBF con il calcolo a tasso di guasto costante = 808,18/h
Quando il sistema è veramente con tasso di guasto costante, distribuzione esponenziale, tutti i valori convergono ed i tre metodi di calcolo forniscono risultati molto simili.
l'MTBF è sicuramente legato ai costi per gli interventi nel periodo di garanzia e al programma di manutenzione. Ulteriori analisi portano, conosciuti i costi di riparazione per ogni modo di guasto:
  • alla determinazione dei tempi medi di riparazione = MTTR;
  • ai costi manodopera;
  • ai costi materiali .
Spingendosi più avanti con l’analisi e conoscendo:
  • il costo sostenuto per effettuare un intervento di manutenzione preventiva prima della manifestazione del modo di guasto;
  • i costi previsti per tutte le spese dovute ad un intervento dopo la manifestazione del modo di guasto, includendo: eventuali penali, fermi di produzione, perdita di vendite ecc.
si può pervenire all’individuazione, per ogni componente, dell’equilibrio migliore. Ovvero, al tempo d'intervento con il costo minimo e alla pianificazione ottimale della manutenzione preventiva.
Ad esempio, supponendo per il componente A (con valori di b =1 e h = 5600/h ) un costo per manutenzione preventiva prima della manifestazione del modo di guasto di €272,50 e un costo di € 327,00 per un intervento dopo la manifestazione del modo di guasto, si ricava che il tempo di manutenzione al costo minimo e di 3030.99/h.